Игорь Кваша родился в городе Москва, РСФСР, СССР. Отец - Кваша Владимир Ильич, доктор химических наук, заведующий кафедрой Московского химико-технологического института имени Д.И. Менделеева. Мать – Кваша Дора Захаровна, сурдопедагог и дефектолог. Супруга - Путиевская Татьяна Семеновна, врач. Сын – Кваша Владимир Игоревич, по образованию врач, но в настоящее время занимается бизнесом, увлекается реставрацией машин. Внуки: Настя и Миша. Спустя девять лет началась Великая Отечественная война. Семью в 1941 году эвакуировали в Сибирь. Отец отправился защищать страну. С войны он не вернулся - погиб в 1943-м под Ленинградом... Мама всю жизнь проработала в школах для умственно отсталых детей. Вернувшись в Москву, Игорь Кваша стал ходить в школу на Арбате, в Доме пионеров посещал театральную студию (оттуда же вышли Ролан Быков и Владимир Андреев)

В 1957 году Квашу пригласили в создававшийся театр «Современник». Вместе с Галиной Волчек и Олегом Ефремовым они стали основателями театра. В «Современнике» Игорь Кваша работает и по сей день. Своей блистательной игрой, интуитивным, подсознательным чувством каждой роли он очень быстро покорил зрителей. При этом и сам актер к зрителям всегда относился и продолжает относится с открытостью и глубокой неподдельной любовью. Все спектакли с его участием смотрятся на одном дыхании. Восторженные зрители нередко даже прерывают реплики актера аплодисментами.

За долгие годы актер сыграл в огромном количестве спектаклей, наверное, процентах в 70 от репертуара театра.

Пробовал он себя и в качестве режиссера. Им были поставлены: «Кабала святош» (1981) и «Дни Турбиных» (1984) Михаила Булгакова, «Кот домашний средней пушистости» Войновича и Горина (1990), «Балалайкин и Ко» Салтыкова-Щедрина (2001). В 2008 году Игорь Кваша снова выступил как режиссер в поэтическом спектакле «А вам не хотится ль Под ручку пройтиться?..»

Не меньшую популярность принесли Игорю Кваше и кинороли, хотя сам он считает себя более театральным актером, нежели актером кино. Игорь Владимирович говорит: «Театр у меня всегда был на первом месте. Меня довольно часто приглашали на пробы, но я отказывался - считал, что кино может помешать моей работе в театре».

Дебютировал он в 1961 году ролью бойца Сени в военной драме Ильи Гурина «В трудный час». А первой большой работой актера стала роль молодого Карла Маркса в фильме Григория Рошаля «Год как жизнь». Игорь Владимирович признается, что играл эту роль с интересом: «Это был человек незаурядный, из тех, кто миры переворачивает. Он и перевернул мир». В дальнейшем режиссеры не раз приглашали Квашу на роль Маркса.

Замечательными работами актер отметился в 70-е и 80-е годы. Именно тогда на экраны вышли: комедия «Соломенная шляпка», спортивная драма «Жребий», мелодрама «Просто Саша», приключенческий детектив «Сыщик», кинопритча «Тот самый Мюнгхаузен», сказка «Сказки старого волшебника», комедия «Человек с бульвара Капуцинов». И везде его герои были разными, неповторимыми. Все они имели свое лицо, свой характер, свою судьбу. Они удивляли и раздражали, заставляли сочувствовать и ненавидеть...

Скончался Народный артист России в Москве, на 80-м году жизни в реанимации московской больницы. У него были проблемы с бронхами, вначале думали, что это из-за пристрастия Кваши к сигаретам. Накануне ему сделали операцию.