Der Kaufmannssohn Kammer absolvierte ein Realgymnasium und erhielt privaten Schauspielunterricht. 1938 begann er seine Laufbahn am Theater und erhielt noch im selben Jahr seine erste Filmrolle. Im Zweiten Weltkrieg war er eingezogen. Nach 1945 sah man Kammer unter anderem am Heilbronner Stadttheater sowie an Berliner Spielstätten wie dem Kabarett der Komiker und dem Theater am Nollendorfplatz. Gelegentlich inszenierte er auch Bühnenstücke.

Bis 1957 wurde er dem ostdeutschen Publikum durch Filme der DEFA bekannt und wirkte in der Folgezeit in insgesamt über 30 Film- und Fernsehproduktionen mit, seit seinem Einstand in der Heinz Rühmann-Produktion Der eiserne Gustav auch in bundesrepublikanischen Filmen.