Štěpán Kozub v dětství trpěl astmatem, a tak se s rodiči přestěhovali do lázeňského městečka Javorník. Ve škole neměl moc dobré známky a manuálně také nebyl dost zručný, a tak přemýšlel co má s sebou dělat. Protože ho ale na škole bavilo recitovat básně, tak zkusil Janáčkovu Konzervatoř v Ostravě a úspěšně byl přijat na obor herectví pod vedením Václava Klemense.

Na konzervatoři se seznámil s učitelem jevištního pohybu Albertem Čubou a se svým spolužákem Robinem Ferro. Všichni tři už během školy vytvořili improvizační show „Tři Tygři“ a pravidelně vystupovali v klubu Heligonka v Ostravě, kde bavili lidi. Během studia Štěpán hostoval v Národním divadle Moravskoslezském a v Komorní scéně Aréna, kde po studiu nastoupil do angažmá. První rok byl pro Štěpána úspěšný, za inscenaci W. Shakespeara „Něco za něco“ dostal cenu divadelní kritiky Talent roku a širší nominaci na cenu Thálie. Během tří sezon odehrál sedm představení, např.: „Top Dogs“, „Tři sestry“ nebo „Lidská tragikomedie“. Dále dostal cenu televizní objev roku 2015.

V roce 2017 dal z Arény výpověď a přešel do nově vzniklého soukromého Divadla Mír, které založil jeho kamarád Albert Čuba. V roce 2018 se stal jeho uměleckým šéfem. V Míru odehrál několik úspěšných inscenací např.: „Bull“, „Kdo je pan Schmitt“ nebo „Už ani den“. V Míru například i zrežíroval hru „Trochu hodně mimo“, ke které s Davidem Vyhnánkem napsal i scénář.

Prosazuje se i ve filmovém a televizním průmyslu. Jeho první větší role přišla v roce 2015 v seriálu Případy 1. oddělení. Dále se objevil v menších rolích v Dukle 61, Přes Prsty nebo Zahradnictví: Dezertér. Větší roli také dostal v českém komediálním seriálu Lajna, kde hrál mladého bláznivého hokejistu. V roce 2017 natočil hororový film Ruchoth Raoth, kde získal hlavní roli a za kterou si vysloužil hereckou cenu v Las Vegas. Jeho velký zlom přišel v roce 2020, kdy se proslavil díky improvizační show „Tři Tygři“ a seriálům Místo zločinu Ostrava a sKORO NA mizině.

V roce 2019 se oženil a v roce 2020 se mu narodila dcera. Mezi jeho koníčky patří malování.